Soubor je pojmenován podle houslisty Josefa Suka (1929-2011), jedné z největších osobností houslové generace 20. století , vnuka skladatele Josefa Suka a pravnuka Antonína Dvořáka. Poctu nést název po tak významném českém umělci iniciovala souboru nejrenomovanější česká instituce v oblasti komorní hudby – Český spolek pro komorní hudbu s laskavým svolením manželky Josefa Suka, paní Marie Sukové. Klavírní kvarteto Josefa Suka tak navazuje na bohatou tradici českých komorních souborů, především pak slavného Sukova tria.